Геометрическое определение вероятности. Задачи с решениями

За окном ранние осенние деньки, и жёлтая листва на деревьях навевает лирическое и немного грустное настроение…. Но впереди ещё целый учебный год и в такие моменты нужно обязательно настроиться на плодотворную работу! Спешу обрадовать всех хандрящих читателей своим фирменным рецептом, позволяющим быстро повысить тонус своего организма. Для этого достаточно немножко вспомнить геометрию … …нет, я согласен, что иногда она усыпляет, но в небольших дозах – исключительно бодрит! И, главное, очень действенно – как только начинаешь принимать живительные порции знаний, так сразу никакой сезонной депрессии!

Ещё на первом уроке по теме мы познакомились с классическим определением вероятности появления некоторого события в испытании и простейшей формулой , где – общее число всех возможных равновозможных , элементарных исходов данного испытания, а – кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Возникли затруднения с терминологией и/или пониманием? Пожалуйста, начните с основ теории вероятностей .

Едем дальше: классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. Даже правильнее сказать, не недостатков, а ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:

На отрезок наудачу бросается голодная точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток ?

Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности .

Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению , где – геометрическая мера , выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а – мера , выражающая количество благоприятствующих событию исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.

Рассмотрим событие: – брошенная на отрезок точка, попала в промежуток . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: , а благоприятствующие событию исходы – длиной вложенного отрезка: По геометрическому определению вероятности:

Слишком просто? Как и в случае с классическим определением , это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:

Задача 1

Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение : «чего тут сложного? Вероятность равна 1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого :

Рассмотрим событие: – длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Благоприятствующие событию участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна:

Ответ : 0,4

Какой можно сделать вывод? Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ. Импульсивность вообще штука скверная – это ошибки, ненужные покупки, испорченные кожные покровы отношения и т.д.… но не будем о грустном!

При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.) . Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры: , в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.

Задача 2

После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Краткое и решение и ответ в конце урока.

Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:

Задача 3

В треугольник со сторонами вписан круг. Точка произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.

Напоминаю, что вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в 3 точках

Решение : поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Что тут сказать? Ищем площади:

Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона :
, где – длины сторон треугольника, а – полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр треугольника: , а затем его площадь:

Методику вынесения множителей из-под корня я освещал ещё в древние-древние времена на вводном уроке по аналитической геометрии .

Площадь вписанного круга найдём по формуле , где – его радиус.

Откуда брать геометрические формулы? Нужные формулы можно найти в школьном учебнике или другом источнике информации. При этом нет никакой необходимости специально их разучивать, лично я вспомнил только , а всё остальное в считанные минуты нашёл в Википедии. И через считанные минуты всё это благополучно забуду =)

Итак, площадь вписанного круга:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка попадёт во вписанный круг.

Ответ :

Более простой пример для самостоятельного решения:

Задача 4

В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.

Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!

А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:

Задача 5

Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Давайте немного осмыслим условие. Во-первых, автомобили могут подойти на погрузку в любом порядке, а во-вторых – в любые моменты времени в течение полутора часов. По первой оглядке решение представляется довольно трудным. И для неподготовленного человека оно действительно окажется «не по зубам». Подробный анализ метода решения этой задачи можно найти, например, в учебном пособии Гмурмана, я же ограничусь в известной степени формальным алгоритмом:

Решение :сначала выясняем длительность временнОго промежутка, на котором может состояться встреча. В данном случае, как уже отмечено выше, это полтора часа или 90 минут. При этом здесь не имеют особого значения фактические временнЫе рамки – погрузка автомобилей, может состояться, например, утром с 8.30 до 10.00, и решение будет точно таким же.

Вычисления допустимо проводить как в долях часа, так и в минутах. На мой взгляд, в большинстве случаев удобнее работать с минутами – меньше путаницы.

Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы и прямой ) :

На отрезке прямая расположена не ниже гиперболы ,
по соответствующей формуле :

По геометрическому определению:
– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.

Ответ :

Аналогичный пример для самостоятельного решения.

В конце июля, августе и начале сентября 2010 года в России возникла сложная пожарная обстановка из-за ряда пожаров, сопровождавшихся смогом и задымлением городов, а также жертвами и многочисленными убытками. Так, по состоянию на 7 августа 2010 была зафиксирована гибель 53 человек, уничтожено более 1200 домов. Площадь пожаров составила более чем 500 тысяч гектаров. На борьбу с огнём были брошены все силы, и, конечно, воздушная техника, позволявшая тушить участки, доступ к которым по земле был затруднён или невозможен. Меня заинтересовал один вопрос: какова вероятность того, что водный «снаряд» попадет в назначенное место во время того, как самолет движется на огромной скорости, а леса и поля мелькают внизу, подобно брызгам с кисти неосторожного художника? Или же здесь можно полагаться лишь на интуицию и на опытность пилота?

Оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить его для ответа на свой вопрос.

Проблема: возможно ли применение геометрической вероятности для решения практических задач?

Цель работы: исследование раздела математики «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения поставленной проблемы.

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;

Изучить теорию по данной теме;

Рассмотреть типовые задачи и основные способы их решений;

Применить полученные знания на практике.

Методы решения:

Изучение литературы по данной теме;

Анализ материала;

Выбор задач различных типов и уровней сложности;

Ознакомление с методами решения задач на нахождение геометрической вероятности;

Применение навыков для решения практических задач;

Синтез полученных данных.

Основная часть

1.Сведения из истории

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма. Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль. Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и . При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей вышла в печатном виде на двадцать лет раньше () издания писем Паскаля и Ферма ().

Важный вклад в теорию вероятностей внёс : он доказал в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине основной вклад внесли русские учёные , А. А. Марков и . В это время были доказаны , , а также разработана теория . Современный вид теория вероятностей получила благодаря у и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из .

2.Основные теоретические сведения

Теория вероятностей - раздел математики , изучающий закономерности случайных явлений : , , их свойства и операции над ними.

Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2. найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
3. найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве - это отношение мер данных объектов.

Задача 1 : найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Тогда .

Ответ: 0.5

Таким образом, вероятность может быть вычислена как отношение длин двух отрезков.

2. Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России? Очевидно, что для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих двух площадей и даст искомую вероятность.

Р(А) = S(A)/S(B) , где Р – вероятность, а S – площадь.

Задача 2 : внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см.

Решение: пусть событие Е – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3 см. Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда вероятность наступления события Е пропорциональна мере этого куба и равна P (E) = U куба / U параллелепипеда . Но объем куба равен 27 см 3 , а объем параллелепипеда – 240 см 3 . Следовательно, Р (Е) = 27/ 240 ≈ 0.113

Ответ: 0.113

! Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероятность – несоответствие размерностей. Часто при вычислении геометрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятности на «безразмерность».

3.Задачи на нахождение геометрической вероятности

Задача 3 : точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ? (рис.1)

Решение: точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она принадлежит внутреннему квадрату со стороной равной 1 – 2* = .

Чтобы найти площадь фигуры, составляющей разницу между внутренним и внешним квадратами (G), нужно из площади всей фигуры (F) вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Ответ: 0.75

Задача 4: единичный интервал делится на три части двумя случайными точками. Чему равна вероятность того, что из получившихся отрезков можно построить треугольник?

Решение: необходимо найти вероятность того, что ни один из отрезков не превосходит суммы двух других. Для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать внутри треугольника, который получается соединением середин противоположных сторон треугольника (рис.2). Он имеет площадь, равную одной четверти большого треугольника, и, следовательно, вероятность равна одной четвертой.

Ответ: 0.25

Задача 5 : два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение: пусть x - момент времени прихода первого студента, y - момент времени прихода второго студента. Тогда x, y € (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G (рис.3). |x-y| ≤ 20 (определение того, что студент, пришедший первым, ждет второго не больше 20 минут) - задает область g. Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом (рис.2). Вероятность можно будет найти как отношение площадей двух областей g и G. Р(A)=60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Ответ: 5/9

Задача 6: согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т.е. 0,1 .

Ответ: 0.8

4.Проблемная задача

Задача 7 : в одном из лесных хозяйств Брянской области, представляющем собой прямоугольник a*b гектаров, вспыхнул пожар. Огнем охвачена часть леса, которая является кругом с радиусом, равным r. Найдите вероятность того, что жидкость, распыляемая пролетающим над лесом самолетом, попадет в область пожара.

Решение: Площадь леса равна а*b, площадь горящей области – r 2 . Тогда Р(А) = r 2 / а*b

Ответ: r 2 / а*b

Таким образом, знакомство с теорией вероятности помогло мне в решении проблемы. После составления и решения задачи 7, я могу сказать, что можно найти много вариантов практического применения геометрической вероятности.

Заключение

В результате проделанной работы я изучила новый для меня раздел математики «геометрическая вероятность» путем ознакомления с разнообразными литературными источниками, анализа информации и, непосредственно, решения задач. Применила полученные знания для решения интересующей меня проблемы. В дальнейшем можно продолжить изучение данной темы, т.к. существует множество заданий более высокого уровня сложности, например «Задача Сильвестра».

Некоторые аспекты данной работы могут быть использованы для подготовки к ГИА по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам. Исследовательская работа является наглядным примером, демонстрирующим, что более глубокое изучение тем, не освещенных достаточно подробно в главах стандартного учебника, может быть не только интересным и познавательным, но также служить для решения каких-либо практических задач или нестандартных вопросов.

Литература

1. Е.А.Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» - Москва, «Педагогический университет «Первое сентября», 2005
2. М.Кендаль, П.Моран «Геометрические вероятности» - Москва, «Наука», 1972
3. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Т.В.Колесникова, Л.О.Рослова – «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе» - Москва, «Просвещение», 2011
4. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник, часть 1. 11 класс» - Москва, «Мнемозина», 2009
5. А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика» - Москва, «Педагогика», 1989
6. З.А.Скопец «Дополнительные главы по курсу математики» - Москва, «Просвещение», 1974
7. Л.А.Трофимова «План-конспект «Геометрическая вероятность»
8. А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» - Москва, «Издательство МЦНМО», 2007
9. http://www.historydata.ru

Приложение

Задача 8: на окружности радиуса R случайно выбираются две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше R?

Решение: расстояние меньше R значит, что хорда, соединяющая эти две точки, должна быть меньше R или меньше стороны вписанного шестиугольника. Зная центральный угол, равный 72˚ , найдем длину дуги, заключенной между двумя точками при хорде меньше радиуса. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0.2

Ответ: 0.2

Задача 9 : на отрезке АВ длины l независимо друг от друга выбираются наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка М окажется ближе к точке А, чем точка N?

Решение : пусть АМ = х, АN = y. Рассматриваемому событию будет благоприятствовать лишь те точки, которые удовлетворяют условию у>x. Множество всех возможных исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию, геометрически изображается точками заштрихованного треугольника, т.к. координаты всех точек этого треугольника связаны соотношением у>x. Следовательно, искомая вероятность равна 0.5.

Ответ: 0.5

Задача 10: из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника (рис.4).

Решение: средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Ответ: 0.25

Задача 11: Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение: первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом (рис.5). Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Найдем площадь кольца: S кольца = *3 2 - *1 2 = 8 см 2 . Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек, либо пересекаются.

В этом случае область для попадания - прямоугольник с вырезанным кольцом. Найдем площадь этой фигуры S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Ответ: 0,95

Задача 12: 10 % поверхности шара (по площади) выкрашено в чёрный цвет, остальные 90% белые. Доказать, что можно вписать в шар куб так, чтобы все вершины попали в белые точки.

Решение : впишем куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в шар случайным образом . Тогда вероятность того, что данная вершина (например, вершина А) окажется чёрной, составляет 1/10. Вероятность того, что хотя бы одна их восьми вершин окажется чёрной, не превосходит 8/10 (объединение восьми событий вероятности 1/10). Значит, бывают случаи (они составляют по крайне мере 2/10 всех вариантов), когда все вершины белые.

Задача Сильвестра

Несколько более сложная задача носит название задачи Сильвестра. Она состоит в нахождении вероятности того, что четыре точки A, B, C, D, взятые случайно внутри выпуклой области, составляют выпуклый четырехугольник; это означает, что ни одна из точек не попадает в треугольник, образованный тремя другими.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Считается, что в математике на любую задачу обязательно есть точный ответ. Однако, существует целый раздел математики, посвящённый изучению и описанию таких явлений и задач, точно определить результаты которых нельзя, явлений, в которых главенствует случайность. Этот раздел называется теория вероятностей.

В школьном курсе математики данная тема затрагивается поверхностно. В частности, даётся единственное, так называемое «классическое» определение вероятностей, которое применимо не всегда. В частности, с помощью классической вероятности нельзя решить даже относительно простую задачу о вероятности попадания в мишень.

В данной работе мы намерены рассмотреть другой вариант определения вероятностей - геометрическую вероятность - которая позволяет решать подобные задачи.

Цель работы: определить пользу геометрической вероятности при решении задач.

Задачи:

Дать определение геометрической вероятности.

Рассмотреть свойства геометрической вероятности.

Сопоставить полученные свойства со свойствами классической вероятности.

Рассмотреть применения геометрической вероятности при решении задач.

Определить ограничения на использование геометрической вероятности.

Актуальность работы заключается в том, что геометрическая вероятность может помочь определить, насколько вероятно то или иное явление в тех случаях, где классическая вероятность бессильна.

Глава 1. Определение геометрической вероятности

В 6 классе затрагивается (а в 9 - несколько углубляется) понятие вероятности. Вероятность можно определить по-разному. В большинстве учебников для школ даётся следующее определение вероятности:

Где - количество результатов, когда наступает событие, а - количество всех равновозможных результатов. Данное определение вероятности называется классическим .

Однако, оно применимо не всегда.

§ 1.1. Длины

Рассмотрим следующую задачу:

На отрезок наугад бросается точка. Данный отрезок разделён на промежутки . Чему равна вероятность попадания в отрезок }